算术平均数与几何平均数2

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    3.通过变式练习,使学生在对知识初步理解和把握后,得到进一步深化,对所学的知识得到巩固与提高,同时反馈信息,调整课堂教学.
    4.本节课采用启发引导,讲练结合的授课方式,发挥教师主导作用,体现学生主体地位,学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成,启发诱导学生深入思考问题,有利于培养学生思维灵活、严谨、深刻等良好思维品质.
    作业答案
    思考题 证实:因为 ,所以
    .又因为 , , ,所以 , ,所以
    研究性题 ① .由条件得 ,…(A) 利用公式 …(B). 得 ,即 . ② .由(A)、(B)之和即得.③ .可利用 .再利用①,即可得. ④ .利用立方和公式得到: .利用①可得 .利用①②可得 .还有 ……
    第二课时
    (-)导入新课
    (教师活动)1.教师打出字幕(引例); 2.设置问题,引导学生思考,启发学生应用平均值定理解决有关实际问题.
    (学生活动)思考、回答教师设置的问题,构建应用平均值定理解决实际问题的思路.
    [字幕]引例.如图,用篱笆围一块面积为50 的一边靠墙的矩形篱笆墙,问篱笆墙三边分别长多少时,所用篱笆最省?此时,篱笆墙长为多少米?
    [设问]
    ①这是一个实际问题,如何把它转化成为一个数学问题?
    (学生口答:设篱笆墙长为y,则 ( ).问
    题转化成为求函数y的最小值及取得最值时的 的值.)
    ②求这个函数的最小值可用哪些方法?能否用平均值定理求此函数的最小值?
    (学生口答:利用函数的单调性或判别式法,也可用平均值定理.)
    设计意图:从学生熟悉的实际问题出发,激发学生应用数学知识解决问题的爱好,通过设问,引导和启发学生用所学的平均值定理解决有关实际问题,引入课题.
    (二)新课讲授
    尝试探索、建立新知
    (教师活动)教师打出字幕(课本例题1),引导学生研究和解决问题,帮助学生建立用平均值定理求函数最值的知识体系.
    (学生活动)尝试完成问题的论证,构建应用平均值定理求函数最值的方法.
    [字幕]已知 都是正数,求证:
    (1)假如积 是定值P,那么当 时,和 有最小值 ;
    (2)假如和 是定值S,那么当 时,积 有最大值
    证实:运用 ,证实(略).
    [点评]
    ①(l)的结论即 ,(2)的结论即
    ②上述结论给出了一类函数求最值的方法,即平均值定理求最值法.
    ③应用平均值定理求最值要非凡注重:两个变元都为正值;两个变元之积(或和)为定值;当且仅当 ,这三个条件缺一不可,即“一正,二定,三相等”同时成立.
    设计意图:引导学生分析和研究问题,建立新知——应用平均值定理求最值的方法.
    例题示范,学会应用
    (教师活动)打出字幕(例题),引导学生分析问题,研究问题的解法.
    (学生活动)分析、思考,尝试解答问题.
    [字幕]例题1 求函数 ( )的最小值,并求相应的 的值.
    [分析]因为这个函数中的两项不都是正数且 又 与的积也不是常数,所以不能直接用定理求解.但把函数变形为 后,正数 , 的积是常数1,可以用定理求得这个函数的最小值.
    解: ,由 ,知 , ,且 .当且仅当 ,即 时, ( )有最小值,最小值是 。
    [点评] 要正确理解 的意义,即方程 要有解,且解在定义域内.
    [字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池,其容积为 4800 ,深为 3 m,假如池底每l 的造价为 150元,池壁每1 的造价为 120元,问怎样设计水池能使总造价最低,最低总造价是多少元?
    [分析] 设水池底面一边的长为 m,水池的总造价为y,建立y关干 的函数.然后用定理求函数y的最小值.
    解:设水池底面一边的长度为 m,则另一边的长度为 m,又设水池总造价为y元,根据题意,得
    ( )
    所以
    当 ,即 时,y有最小值297600.因此,当水池的底面是边长为40 m的正方形时.水池的总造价最低,最低总造价是 297600元.
    设计意图:加深理解应用平均值定理求最值的方法,学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题,并把握分析变量的构建思想.培养学生用数学知识解决实际问题的能力,化归的数学思想.
    课堂练习
    (教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考,完成练习;请三位同学板演;巡视学生解题情况,对正确的给予肯定,对偏差进行纠正;讲评练习.
    (学生活动)在笔记本且完成练习、板演.
    [字幕〕练习
    A组
    1.求函数 ( )的最大值.
    2求函数 ( )的最值.
    3.求函数 ( )的最大值.
    B组
    1.设 ,且 ,求 的最大值.
    2.求函数 的最值,下面解法是否正确?为什么?
    解: ,因为 ,则 .所以
    [讲评] A组 1. ; 2. ; 3.
    B组 1. ; 2.不正确 ①当 时, ;②当 时, ,而函数在整个定义域内没有最值.
    设计意图;A组题练习学生把握应用平均值定理求最值.B组题练习学生把握平均值定理的综合应用,并对一些易出现错误的地方引起注重.同时反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
    分析归纳、小结解法
    (教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法.
    (学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录笔记.
    1.应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下,两个正变量的和或积的最值问题.
    2.应用定理时注重以下几个条件:(ⅰ)两个变量必须是正变量.(ⅱ)当它们的和为定值时,其积取得最大值;当它们的积是定值时,其和取得最小值.(iii)当且仅当两个数相等时取最值,即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件,才能求得最值.
    3.在求某些函数的最值时,会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数.
    4.应用平均值定理解决实际问题时,应注重:(l)先理解题意,没变量,把要求最值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最值问题,确定函数的定义域.(3)在定义域内,求出函数的最值,正确写出答案.
    设计意图:培养学生分析归纳问题的能力,帮助学生形成知识体系,全面深刻地把握平均值定理求最值和解决实际问题的方法.
    (三)小结
    (教师活动)教师小结本节课所学的知识要点.
    (学生活动)与教师一道小结,并记录笔记.
    这节课学习了利用平均值定理求某些函数的最值问题.现在我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值方法.这是平均值定理的一个重要应用,也是本节的重点内容,同学们要牢固把握.
    应用定理时要注重定理的适用条件,即“正数、定值、相等”三个条件同时成立,且会灵活转化问题,达到化归的目的.
    设计意图:培养学生对所学知识进行概括归纳的能力,巩固所学知识.
    (四)布置作业
    1.课本作业:P ,6,7.
    2.思考题:设 ,求函数 的最值.
    3.研究性题:某种汽车购车时费用为10万元,每年保险、养路、汽车费用9千元;汽车的维修费各年为:第一年2千元,第二年4千元,依每年2千元的增量逐年递增.问这种汽车最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的平均费用最少)?

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