排列、组合、二项式定理-基本原理

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排列、组合、二项式定理-基本原理

    教学目标
    (1)正确理解加法原理与乘法原理的意义,分清它们的条件和结论;
    (2)能结合树形图来帮助理解加法原理与乘法原理;
    (3)正确区分加法原理与乘法原理,哪一个原理与分类有关,哪一个原理与分步有关;
    (4)能应用加法原理与乘法原理解决一些简单的应用问题,提高学生理解和运用两个原理的能力;
    (5)通过对加法原理与乘法原理的学习,培养学生周密思考、细心分析的良好习惯。
    教学建议
    一、知识结构
    二、重点难点分析
    本节的重点是加法原理与乘法原理,难点是准确区分加法原理与乘法原理。
    加法原理、乘法原理本身是轻易理解的,甚至是不言自明的。这两个原理是学习排列组合内容的基础,贯穿整个内容之中,一方面它是推导排列数与组合数的基础;另一方面它的结论与其思想在方法本身又在解题时有许多直接应用。
    两个原理回答的,都是完成一件事的所有不同方法种数是多少的问题,其区别在于:运用加法原理的前提条件是, 做一件事有n类方案,选择任何一类方案中的任何一种方法都可以完成此事,就是说,完成这件事的各种方法是相互独立的;运用乘法原理的前提条件是,做一件事有n个骤,只要在每个步骤中任取一种方法,并依次完成每一步骤就能完成此事,就是说,完成这件事的各个步骤是相互依存的。简单的说,假如完成一件事情的所有方法是属于分类的问题,每次得到的是最后结果,要用加法原理;假如完成一件事情的方法是属于分步的问题,每次得到的该步结果,就要用乘法原理。
    三、教法建议
    关于两个计数原理的教学要分三个层次:
    第一是对两个计数原理的熟悉与理解.这里要求学生理解两个计数原理的意义,并弄清两个计数原理的区别.知道什么情况下使用加法计数原理,什么情况下使用乘法计数原理.(建议利用一课时).
    第二是对两个计数原理的使用.可以让学生做一下习题(建议利用两课时):
    ①用0,1,2,……,9可以组成多少个8位号码;
    ②用0,1,2,……,9可以组成多少个8位整数;
    ③用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位整数;
    ④用0,1,2,……,9可以组成多少个有重复数字的4位整数;
    ⑤用0,1,2,……,9可以组成多少个无重复数字的4位奇数;
    ⑥用0,1,2,……,9可以组成多少个有两个重复数字的4位整数等等.
    第三是使学生把握两个计数原理的综合应用,这个过程应该贯彻整个教学中,每个排列数、组合数公式及性质的推导都要用两个计数原理,每一道排列、组合问题都可以直接利用两个原理求解,另外直接计算法、间接计算法都是两个原理的一种体现.教师要引导学生认真地分析题意,恰当的分类、分步,用好、用活两个基本计数原理.
    教学设计示例
    加法原理和乘法原理
    教学目标
    正确理解和把握加法原理和乘法原理,并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题,从而发展学生的思维能力,培养学生分析问题和解决问题的能力.
    教学重点和难点
    重点:加法原理和乘法原理.
    难点:加法原理和乘法原理的准确应用.
    教学用具
    投影仪.
    教学过程设计
    (一)引入新课
    从本节课开始,我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特,研究问题的方法不同一般.虽然份量不多,但是与旧知识的联系很少,而且它还是我们今后学习概率论的基础,统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上,只要涉及安排调配的问题,就离不开它.
    今天我们先学习两个基本原理.
    (二)讲授新课
    1.介绍两个基本原理
    先考虑下面的问题:
    问题1:从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船.一天中,火车有4个班次,汽车有 2个班次,轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地,共有多少种不同的走法?
    因为一天中乘火车有4种走法,乘汽车有2种走法,乘轮船有3种走法,每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以,一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4 2 3=9种不同的走法.
    这个问题可以总结为下面的一个基本原理(打出片子——加法原理):
    加法原理:做一件事,完成它可以有几类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1 m2 … mn种不同的方法.
    请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2):
    问题2:由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条(见下图),从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
    这里,从A村到B村,有3种不同的走法,按这3种走法中的每一种走法到达B村后,再从B村到C村又各有2种不同的走法,因此,从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.
    一般地,有如下基本原理(找出片子——乘法原理):
    乘法原理:做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法,……,做第n步有mn种不同的方法.那么,完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
    2.浅释两个基本原理
    两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.
    比较两个基本原理,想一想,它们有什么区别?
    两个基本原理的区别在于:一个与分类有关,一个与分步有关.
    看下面的分析是否正确(打出片子——题1,题2):
    题1:找1~10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数,共有4个;第二类办法是找含因数3的合数,共有2个;第三类办法是找含因数5的合数,共有1个.
    1~10中一共有N=4+2+1=7个合数.
    题2:在前面的问题2中,步行从A村到B村的北路需要8时,中路需要4时,南路需要6时,B村到C村的北路需要5时,南路需要3时,要求步行从A村到C村的总时数不超过12时,共有多少种不同的走法?
    第一步从A村到B村有3种走法,第二步从B村到C村有2种走法,共有N=3×2=6种不同走法.
    题2中的合数是4,6,8,9,10这五个,其中6既含有因数2,也含有因数3;10既含有因数2,也含有因数5.题中的分析是错误的.
    从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村,只有南路这一种走法.
    (此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注重事项,这样安排,不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻,而且还可以培养学生的学习能力)
    进行分类时,要求各类办法彼此之间是相互排斥的,不论哪一类办法中的哪一种方法,都能单独完成这件事.只有满足这个条件,才能直接用加法原理,否则不可以.
    假如完成一件事需要分成几个步骤,各步骤都不可缺少,需要依次完成所有步骤才能完成这件事,而各步要求相互独立,即相对于前一步的每一种方法,下一步都有m种不同的方法,那么计算完成这件事的方法数时,就可以直接应用乘法原理.
    也就是说:类类互斥,步步独立.
    (在学生对问题的分析不是很清楚时,教师及时地归纳小结,能使学生在应用两个基本原理时,思路进一步清楚和明确,不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法,只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

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