排列、组合、二项式定理

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排列、组合、二项式定理

    一.课标要求:
    1.分类加法计数原理、分步乘法计数原理
    通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理;能根据具体问题的特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题;
    2.排列与组合
    通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简单的实际问题;
    3.二项式定理
    能用计数原理证明二项式定理; 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
    二.命题走向
    本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分;考查内容:(1)两个原理;(2)排列、组合的概念,排列数和组合数公式,排列和组合的应用;(3)二项式定理,二项展开式的通项公式,二项式系数及二项式系数和。
    排列、组合不仅是高中数学的重点内容,而且在实际中有广泛的应用,因此新高考会有题目涉及;二项式定理是高中数学的重点内容,也是高考每年必考内容,新高考会继续考察。
    考察形式:单独的考题会以选择题、填空题的形式出现,属于中低难度的题目,排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小,属于高考题中的中低档题目;预测2009年高考本部分内容一定会有题目涉及,出现选择填空的可能性较大,与概率相结合的解答题出现的可能性较大。
    三.要点精讲
    1.排列、组合、二项式知识相互关系表
    2.两个基本原理
    (1)分类计数原理中的分类;
    (2)分步计数原理中的分步;
    正确地分类与分步是学好这一章的关键。
    3.排列
    (1)排列定义,排列数
    (2)排列数公式:系  = =n·(n-1)…(n-m+1);
    (3)全排列列:  =n!;
    (4)记住下列几个阶乘数:1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720;
    4.组合
    (1)组合的定义,排列与组合的区别;
    (2)组合数公式:Cnm= = ;
    (3)组合数的性质
    ①Cnm=Cnn-m;② ;③rCnr=n·Cn-1r-1;④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n;⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0,即 Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1;
    5.二项式定理
    (1)二项式展开公式:(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn;
    (2)通项公式:二项式展开式中第k+1项的通项公式是:Tk+1=Cnkan-kbk;
    6.二项式的应用
    (1)求某些多项式系数的和;
    (2)证明一些简单的组合恒等式;
    (3)证明整除性。①求数的末位;②数的整除性及求系数;③简单多项式的整除问题;
    (4)近似计算。当|x|充分小时,我们常用下列公式估计近似值:
    ①(1+x)n≈1+nx;②(1+x)n≈1+nx+ x2;(5)证明不等式。
    四.典例解析
    题型1:计数原理
    例1.完成下列选择题与填空题
    (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有      种。
    A.81    B.64    C.24    D.4
    (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是(    )
    A.81    B.64    C.24    D.4
    (3)有四位学生参加三项不同的竞赛,
    ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有           ;
    ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有            ;
    ③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有            。
    解析:(1)完成一件事是"分步"进行还是"分类"进行,是选用基本原理的关键。将"投四封信"这件事分四步完成,每投一封信作为一步,每步都有投入三个不同信箱的三种方法,因此:N=3×3×3×3=34=81,故答案选A。
    本题也可以这样分类完成,①四封信投入一个信箱中,有C31种投法;②四封信投入两个信箱中,有C32(C41·A22+C42·C22)种投法;③四封信投入三个信箱,有两封信在同一信箱中,有C42·A33种投法、,故共有C31+C32(C41·A22+C42C22)+C42·A33=81(种)。故选A。
    (2)因学生可同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将4名学生看作4个"店",3项冠军看作"客",每个"客"都可住进4家"店"中的任意一家,即每个"客"有4种住宿法。由分步计数原理得:N=4×4×4=64。
    故答案选B。
    (3)①学生可以选择项目,而竞赛项目对学生无条件限制,所以类似(1)可得N=34=81(种);
    ②竞赛项目可以挑学生,而学生无选择项目的机会,每一项可以挑4种不同学生,共有N=43=64(种);
    ③等价于从4个学生中挑选3个学生去参加三个项目的竞赛,每人参加一项,故共有C43·A33=24(种)。
    例2.(06江苏卷)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有  种不同的方法(用数字作答)。
    解析:本题考查排列组合的基本知识,由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有 。
    点评:分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的将之化简,达到求解的目的。
    题型2:排列问题
    例3.(1)(06北京卷)在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有(     )
    (A)36个       (B)24个           (C)18个         (D)6个
    (2)(06福建卷)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有(   )
    (A)108种    (B)186种      (C)216种      (D)270种
    (3)(06湖南卷)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是(    )
    A.6              B. 12         C. 18             D. 24
    (4)(06重庆卷)高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是(   )
    (A)1800        (B)3600            (C)4320            (D)5040
    解析:(1)依题意,所选的三位数字有两种情况:(1)3个数字都是奇数,有 种方法(2)3个数字中有一个是奇数,有 ,故共有 + =24种方法,故选B;

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