排列、组合、二项式定理

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    (2)从全部方案中减去只选派男生的方案数,合理的选派方案共有 =186种,选B;
    (3)先排列1,2,3,有 种排法,再将"+","-"两个符号插入,有 种方法,共有12种方法,选B;
    (4)不同排法的种数为 =3600,故选B。
    点评:合理的应用排列的公式处理实际问题,首先应该进入排列问题的情景,想清楚我处理时应该如何去做。
    例4.(1)(06天津卷)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有   个(用数字作答);
    (2)(06上海春)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有          种不同的播放方式(结果用数值表示).
    解析:(1)可以分情况讨论:① 若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成 个五位数;② 若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有 个五位数;③ 若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有 =8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个。
    (2)分二步:首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填 A22·A44=48. 从而应填48。
    点评:排列问题不可能解决所有问题,对于较复杂的问题都是以排列公式为辅助。
    题型三:组合问题
    例5.(1)(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有(   )
    (A)30种   (B)90种         (C)180种    (D)270种
    (2)(06天津卷)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有(  )
    A.10种     B.20种     C.36种      D.52种
    解析:(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2人,有 种方法,再将3组分到3个班,共有 种不同的分配方案,选B;
    (2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,分情况讨论:①1号盒子中放1个球,其余3个放入2号盒子,有 种方法;②1号盒子中放2个球,其余2个放入2号盒子,有 种方法;则不同的放球方法有10种,选A。
    点评:计数原理是解决较为复杂的排列组合问题的基础,应用计数原理结合
    例6.(1)(06陕西卷)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有      种;
    (2)(06全国II)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有(    )
    (A)150种     (B)180种    (C)200种        (D)280种 
    解析:(1)可以分情况讨论,① 甲去,则乙不去,有 =480种选法;②甲不去,乙去,有 =480种选法;③甲、乙都不去,有 =360种选法;共有1320种不同的选派方案;
    (2)人数分配上有1,2,2与1,1,3两种方式,若是1,2,2,则有 =60种,若是1,1,3,则有 =90种,所以共有150种,选A。
    点评:排列组合的交叉使用可以处理一些复杂问题,诸如分组问题等;
    题型4:排列、组合的综合问题
    例7.平面上给定10个点,任意三点不共线,由这10个点确定的直线中,无三条直线交于同一点(除原10点外),无两条直线互相平行。求:(1)这些直线所交成的点的个数(除原10点外)。(2)这些直线交成多少个三角形。
    解法一:(1)由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
    这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以,在原来点上有10C92点被重复计数;
    所以这些直线交成新的点是:C452-10C92=630。
    (2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:因为每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合,即C6403=43486080(个)。
    解法二:(1)如图对给定的10点中任取4个点,四点连成6条直线,这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍,即这些直线新交成的点的个数是:3C104=630。
    (2)同解法一。
    点评:用排列、组合解决有关几何计算问题,除了应用排列、组合的各种方法与对策之外,还要考虑实际几何意义。
    例8.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
    解  设倾斜角为θ,由θ为锐角,得tanθ=- >0,即a、b异号。
    (1)若c=0,a、b各有3种取法,排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0),故有3×3-2=7(条);
    (2)若c≠0,a有3种取法,b有3种取法,而同时c还有4种取法,且其中任两条直线均不相同,故这样的直线有3×3×4=36条,从而符合要求的直线共有7+36=43条;
    点评:本题是1999年全国高中数学联赛中的一填空题,据抽样分析正确率只有0.37。错误原因没有对c=0与c≠0正确分类;没有考虑c=0中出现重复的直线。
    题型5:二项式定理
    例9.(1)(湖北卷)在 的展开式中, 的幂的指数是整数的项共有
    A.3项             B.4项          C.5项            D.6项
    (2) 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是
    (A)0     (B)2     (C)4     (D)6
    解析:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识;
    (1) ,当r=0,3,6,9,12,15,18,21,24时,x的指数分别是24,20,16,12,8,4,0,-4,-8,其中16,8,4,0,-8均为2的整数次幂,故选C;
    (2) 的展开式通项为 ,因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B;
    点评:多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 .在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别。
    例10.(1)(06江西卷)在(x- )2009 的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x= 时,S等于(  )
    A.23008            B.-23008             C.23009          D.-23009
    (2)(06山东卷)已知 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- ,其中 =-1,则展开式中常数项是(   )
    (A)-45i           (B) 45i            (C) -45            (D)45
    (3)(06浙江卷)若多项式

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