排列、组合、二项式定理

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    (   )
    (A)9            (B)10           (C)-9             (D)-10
    解析:(1)设(x- )2009=a0x2009+a1x2009+…+a2009x+a2009;
    则当x= 时,有a0( )2009+a1( )2009+…+a2009( )+a2009=0 (1),
    当x=- 时,有a0( )2009-a1( )2009+…-a2009( )+a2009=23009 (2),
    (1)-(2)有a1( )2009+…+a2009( )=-23009 2=-23008,,故选B;
    (2)第三项的系数为- ,第五项的系数为 ,由第三项与第五项的系数之比为- 可得n=10,则 = ,令40-5r=0,解得r=8,故所求的常数项为 =45,选A;
    (3)令 ,得 ,令 ,得 ;
    点评:本题考查二项式展开式的特殊值法,基础题;
    题型6:二项式定理的应用
    例11.证明下列不等式:
    (1) ≥( )n,(a、b∈{x|x是正实数},n∈N);
    (2)已知a、b为正数,且 + =1,则对于n∈N有
    (a+b)n-an-bn≥22n-2n+1。
    证明:(1)令a=x+δ,b=x-δ,则x= ;
    an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n
    =xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…(-1)nCnnδn
    =2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…)
    ≥2xn
    即 ≥( )n
    (2)(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn
    (a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan
    上述两式相加得:
    2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn)   (*)
    ∵ + =1,且a、b为正数
    ∴ab=a+b≥2   ∴ab≥4
    又∵ an-kbk+bn-kak≥2 =2( )n(k=1,2,…,n-1)
    ∴2(a+b) n≥2an+2bn+Cn12( )n+Cn22( )n+…+Cnn-12( )n
    ∴(a+b)n-an-bn
    ≥(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)·( )n
    ≥(2n-2)·2n
    =22n-2n+1
    点评:利用二项式定理的展开式,可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题(1)中的换元法称之为均值换元(对称换元)。这样消去δ奇数次项,从而使每一项均大于或等于零。题(2)中,由由称位置二项式系数相等,将展开式倒过来写再与原来的展开式相加,这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。
    例12.(1)求4×6n+5n+1被20除后的余数;
    (2)7n+Cn17n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1×7除以9,得余数是多少?
    (3)根据下列要求的精确度,求1.025的近似值。①精确到0.01;②精确到0.001。
    解析:(1)首先考虑4·6n+5n+1被4整除的余数。
    ∵5n+1=(4+1)n+1=4n+1+Cn+114n+Cn+124n-1+…+Cn+1n·4+1,
    ∴其被4整除的余数为1,
    ∴被20整除的余数可以为1,5,9,13,17,
    然后考虑4·6n+1+5n+1被5整除的余数。
    ∵4·6n=4·(5+1)n=4(5n+Cn1·5n-1+Cn2·5n-2+…+Cnn-1·5+1),
    ∴被5整除的余数为4,
    ∴其被20整除的余数可以为4,9,14,19。
    综上所述,被20整除后的余数为9。
    (2)  7n+Cn1·7n-1+Cn2·7n-2+…+Cnn-1·7
    =(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1
    =9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(-1)n-1Cnn-1·9+(-1)nCnn-1
    (i)当n为奇数时
    原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(-1)n-1Cnn-1·9-2
    ∴除以9所得余数为7。
    (ii)当n为偶数时
    原式=9n-Cn1·9n-1+Cn2·9n-2+…+(-1)n-1Cnn-1·9
    ∴除以9所得余数为0,即被9整除。
    (3)(1.02)5≈(1+0.02)5
    =1+c51·0.02+C52·0.022+C53·0.023+C540.024+C55·0.025
    ∵C52×0.022=0.004,C53×0.023=8×10-5
    ∴①当精确到0.01时,只要展开式的前三项和,1+0.10+0.004=1.104,近似值为1.10。
    ②当精确到0.001时,只要取展开式的前四项和,1+0.10+0.004+0.0008=1.10408,近似值为1.104。
    点评:(1)用二项式定理来处理余数问题或整除问题时,通常把底数适当地拆成两项之和或之差再按二项式定理展开推得所求结论;
    (2)用二项式定理来求近似值,可以根据不同精确度来确定应该取到展开式的第几项。
    五.思维总结
    解排列组合应用题的基本规律
    1.分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种:①单独使用;②联合使用。
    2.将具体问题抽象为排列问题或组合问题,是解排列组合应用题的关键一步。
    3.对于带限制条件的排列问题,通常从以下三种途径考虑:
    (1)元素分析法:先考虑特殊元素要求,再考虑其他元素;
    (2)位置分析法:先考虑特殊位置的要求,再考虑其他位置;
    (3)整体排除法:先算出不带限制条件的排列数,再减去不满足限制条件的排列数。
    4.对解组合问题,应注意以下三点:
    (1)对"组合数"恰当的分类计算,是解组合题的常用方法;
    (2)是用"直接法"还是"间接法"解组合题,其原则是"正难则反";
    (3)设计"分组方案"是解组合题的关键所在。

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