曲线和方程

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    (1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标;
    (2)写出适合条件 的点 的集合
    ;
    (3)用坐标表示条件 ,列出方程 ;
    (4)化方程 为最简形式;
    (5)证实以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
    一般情况下,求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解;假如求解过程中的转化都是等价的,那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以,通常情况下证实可省略,不过非凡情况要说明.
    上述五个步骤可简记为:建系设点;写出集合;列方程;化简;修正.
    下面再看一个问题:
    例3:已知一条曲线在 轴的上方,它上面的每一点到 点的距离减去它到 轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.
    动画演示用几何画板演示曲线生成的过程和外形,在运动变化的过程中寻找关系.
    解:设点 是曲线上任意一点, 轴,垂足是 (如图2),那么点 属于集合
    由距离公式,点 适合的条件可表示为
    ①
    将①式 移项后再两边平方,得
    化简得
    由题意,曲线在 轴的上方,所以 ,虽然原点 的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应为 ,它是关于 轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点,如图2中所示.
    练习巩固
    题目:在正三角形 内有一动点 ,已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ,且有 ,求点 轨迹方程.
    分析、略解:首先应建立坐标系,以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴,这条边的垂直平分线为另一个轴,建立直角坐标系比较简单,如图3所示.设 、 的坐标为 、 ,则 的坐标为 , 的坐标为 .
    根据条件 ,代入坐标可得
    化简得
    ①
    由于题目中要求点 在三角形内,所以 ,在结合①式可进一步求出 、 的范围,最后曲线方程可表示为
    小结师生共同总结:
    (1)解析几何研究研究问题的方法是什么?
    (2)如何求曲线的方程?
    (3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用,哪步重要,哪步应注重什么?
    作业课本第72页练习1,2,3;
    板书设计
    §7.6 求曲线的方程
    坐标法:
    解析几何:
    基本问题:
    (1)
    (2)
    例1:
    例2:
    求曲线方程的步骤:
    例3
    练习:
    小结:
    作业:

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