（直线与平面垂直的判定（一））的说课稿

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《直线与平面垂直的判定（一）》的说课稿

高中部数学组  吕颖峰

教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修2

课题：2.3.1直线与平面垂直的判定（一）

教材与学情分析：

《高中数学课程标准（实验）》在《立体几何》部分有独特的要求：“通过直观感知、操作确认、思辩论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.”这是确定这部分教学理念、内容、方法和程序的重要指导原则.直线与平面垂直是人们在生活中司空见惯的事实，充分利用学生在生活中已有的经验和感悟，经过提炼、概括形成抽象化的数学语言，并准确运用这些语言进行逻辑推理或计算，以解决数学和现实中的问题，是这节课的主线.这部分内容中，既有严密的、理性化的思辩论证，又需要利用数学悟性实现直观判断、猜想，所以这部分内容是理性与悟性完美结合的交汇点，是培养学生数学素养，发展学生数学综合能力的大好时机.学生开始学习立体几何往往有各种障碍，尤其是空间想象能力，画图、识图、辩图能力，三种数学语言（自然语言、图形语言、符号语言）的运用转化能力的不理想，严重地阻碍着前进的脚步.而学习《直线与平面垂直》应该是扫除这些障碍，从根本上提高这些能力的转折点.从这个意义上说，科学地设计并合理地实施这节课的教学程序，是学生从此走向《立体几何》学习的阳光大道的关键.

教学目标：

1.知识目标：从熟知的生活事物中提炼、概括出直线与平面垂直的定义和判定定理，进而结合图形用抽象化的数学语言总结、表述出这些内容；

2.能力目标：培养学生的抽象概括、思辩论证的理性精神和迅速认识事物本质的直观能力；

3.情感目标：通过数学知识的形成与实际应用使学生认识到真理来源于实践，并应用于实践的这一哲学理念；同时，培养学生的数学观念，能自觉地运用“数学的”思维方式观察世界、分析事物、解决问题，并在此过程中提高学习数学的兴趣.

教学目标是教师预期的，在教学过程中自然实现的内容.掩盖教育意图是实现教育意图最好的途径，也是科学加艺术的教育技艺的体现，所以我一向不采用在进行新课前将这些内容展示给学生的做法，而是在教学过程中于不知不觉间实现这些目标.

 

教学重点、难点

1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。

2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。

课前准备

1.教师准备：教学课件

2.学生自备：三角形纸片、直木棒（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板

教学过程设计

1.直线与平面垂直定义的建构 

（1） 动体的特征，对“线面垂直”有了一些初浅认识和感知，在高中阶段，创设情境

①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？

②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？

③将旗杆、高楼的侧棱、书脊看成直线l ，将地面、桌面看成平面 ，今天就来研究直线l与平面 垂直的有关知识.

直观感知，引入自然。

（2）观察归纳

问题1：如图1，直线l代表旗杆，平面 代表地面，那么你

认为l与 内的直线有什么关系？

问题2：反过来，如果l（旗杆）与 （地面）内的直线都垂直，那么l与 是什么关系？

归纳定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α.

直线 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。

用符号语言表示为：

 

（3）辨析（完成下列练习）：

①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。

②若a⊥α,b α，则a⊥b。

三个环节环环相扣、层层递进，充分体现了立体几何学习中直观感知、操作确认、思辩论证的综合过程。在创设情境部分指出将“旗杆看成直线 ，将地面看成平面 ”，但面对抽象图形反过又来又将直线 看成旗杆，将平面 看成地面，意图是运用抽象与具体的结合，引导学生平稳而迅速地完成抽象与具体之间的相互转换.至于问题1学生利用生活经验和以前的知识完全可以判断是“互相垂直”关系.在教学中，我曾试图用三角板来度量从而判断 与 内的直线是否垂直，学生往往会发出会意的笑声，我趁机引导说：“是的，立体几何中直线的互相垂直在大多数情况下是‘看’不出来的，也是度量不出来的，而是用心‘想’出来的.”这既复习了直线与直线互相垂直（特别是异面垂直）的观察、想象、判断、识别和论证，又为后继的学习准备了条件.

要求学生在不看课本的前提下总结出直线与平面垂直的定义，尽管总结的语言很可能不太理想，教者也不要“着急地”去照本宣科或越俎代庖，相信学生在经历了一番“挫折”后会逐步完善他们的表述语言，这样形成的知识也就能形成更加牢固的记忆.

在辨析问题中，解释“无数”与“任何”的不同，并说明线面垂直的定义既是线面垂直的判定又是性质，线线垂直与线面垂直可以相互转化，给出常用命题：

 

 

到此为止，我们成功解决了关于线面垂直的定义，这是本节课的重点，但并不是难点，学生们利用生活经验就能有一个大致的了解，所以我在教学过程中，充分发挥学生的积极主动性，让他们去发现、总结、归纳，进而形成知识。辨析的设计，则加深了对概念理解的深度，澄清了一些思维误区。

2. 直线与平面垂直的判定定理的探究

（1）设置问题情境

提出问题：学校广场上树了一根新旗杆，现要检验它是否与地面垂直，你有什么好办法？

（2）折纸试验

如图，请同学们拿出准备好的一块（任意）三角形的纸片，我们一起来做一个实验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上，（BD、DC与桌面接触）.观察并思考：

①折痕AD与桌面垂直吗？

②如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？

③学生实际展示翻折过程。

（3）思考

①直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

②直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

③直线与平面内的一万条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

④直线与平面内的无数条直线垂直，能判定这条直线与这个平面垂直吗？

⑤要想让直线与平面垂直，这条直线至少要与平面内的几条直线垂直？

⑥要想让直线与平面垂直，这条直线要与平面内的两条什么样的直线垂直？

（4）归纳直线与平面垂直的判定定理

定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直。

用符号语言表示为：

  

（5）加深理解

①直线与平面垂直的定义；

②直线与平面垂直的判定定理（编成诙谐的口诀：“线不在多，相交就行”，传神地点出问题的实质）；

③将和①与②综合起来，

得右面的重要数学模式：

 

在问题情境中，学生分组合作进行试验（将直木棒当旗杆，桌面当地面）后交流方案，如用直角三角板量一次，量两次等。教师不作点评，说明完成下面的折纸试验后就有结论。

在折纸试验中，学生会出现“垂直”与“不垂直”两种情况，引导这两类学生进行交流，根据直线与平面垂直的定义分析“不垂直”的原因。学生再次折纸，进而探究直线与平面垂直的条件，经过讨论交流，使学生发现只要保证折痕AD是BC边上的高，即AD⊥BC，翻折后折痕AD就与桌面垂直。

两个动手实验，看起来十分简单，却实实在在的让学生从直观上体会到了线面垂直判定定理。同时，也向学生传达了判定空间中各种位置关系时一个重要的方法：以笔代线，以本代面，动手操作，直接观察。操作确认，这能使学生获取最直观的结论，也是解决选择型位置判断问题的一种快捷的方法。

 在归纳直线与平面垂直的判定定理之前，先让学生进行问题思考，确定了思考方向，大大降低了归纳难度，然后再叙述结论，不完善的地方教师引导、补充完整，并结合“两条相交直线确定一个平面”的事实，简要说明直线与平面垂直的判定定理。然后，学生试用图形语言表述，练习本上画图，可能出现垂足与两相交直线交点重合的情况（如图），教师补充说明，同时给出符号语言表述。

 

在理解直线与平面垂直的判定定理时，强调“两条”、“相交”缺一不可，利用口诀更加突出问题本质；而数学模式的引入，进一步揭示事物本质，具有相对固定格式的数学形式.模式由于它形式的简洁性，内容的深刻性，所以十分有利于理解、记忆、掌握、组装、检索、提取和运用.上述模式在以后的教学中，还要多次重复、强化，并与有关知识融合组装成有机的知识系统.该模式将成为立体几何中最重要、应用最频繁的得力“武器”.用方框围起来意在突出它的重要地位，再结合三种外显语言和大脑中的内部语言努力使该模式成为学生直观上的显然，以便运用时更加灵活自如、游刃有余.

3.新知巩固

A组练习

（1）屋面是由两个矩形组成的（图略），那么屋脊与山墙所在的平面是什么关系？为什么？

（2）设△ABC，若直线l⊥AB，l⊥BC，求证：l⊥CA.

（3）做一个三角架，使三条腿中的任意两条腿都互相垂直（如图3），那么PA与BC、PB与CA、PC与AB分别是什么关系？为什么？

以上系列练习由浅入深，从具体到抽象， 组成了一个使

学生能力稳步增长的训练链条.在教学中，运用多样化的

手段增强训练的效果.如先口述，继而写出规范的论证过

程，再用黑板擦将图形擦得模糊一些，要求在这种不十分

清晰的情况下说出论证过程.若学生的基础较好，还可以将图形和字母全部擦去，借助于想象，运用动作和语言表述出论证过程.还可以运用“双簧”的表演形式，一个学生做动作，另一个学生口述.总之让上面的模式牢牢地在学生脑中扎下根来，并逐步能熟练的写出规范化的思辩论证过程，使《立体几何》的学习从这里走上阳光大道.虽然从本质看，这些都是重复性练习，但由于运用了多样化的形式，学生仍然乐于投入这样的教学活动，且能取得极佳的教学效果.

B组练习

（4）在（3）的条件下，作PH⊥平面ABC于H，则H是△ABC的什么心？为什么？

（5）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，则PC与AB是什么关系？为什么？

（6）如图3，若PA⊥BC，PB⊥CA，作PH⊥平面于H，则H是△ABC的什么心？为什么？

A组练习是B组练习的铺垫，同时B组练习又是A组练习的拓展延伸.在（4）中，将上述模式重复运用了两次，题中给出了平面ABC的垂线PH，正好给（5）的证明以一定的暗示量.但在解决（6）时，应先将PH擦去，让学生感到有一定的困难.这时教者问：“估计到结论是PC⊥AB，问题是如何证明.关键是如何建立几条线段之间的联系，…”经思考后，在上题的启示下，学生定会感悟到作PH⊥面ABC于H，那么问题便迎刃而解.教者说：“我们在学习《平面几何》时，感到最为困难的是作辅助线，似乎辅助线是从天而降，非常神秘，难以捉摸.怎么样，现在在《立体几何》中，我们不是顺利地作出了一条关键性辅助线，从而使解题取得重大突破了吗！将已知与欲证分析透彻了，辅助线就能自己‘蹦’出来，一点也不神秘，我们完全可以熟练驾驭它.辅助线PH好似一座桥，架桥铺路是解数学题的永恒的法则.除了辅助线外，我们以前曾引进过，今后还将引许多辅助‘角色’，如辅助圆、辅助体、辅助球、辅助角、辅助元、辅助函数、辅助数列、辅助不等式…等等这些辅助‘角色’都将成为我们的好朋友和合作伙伴.”为今后的教学设下了良好的伏笔.做了这番工作后，解决（6）已是水到渠成之事.学生通过积极的活动取得了丰硕的成果，课堂气氛越来越热烈，学生的情绪越来越高涨，最终达到高潮，在获得成功感、满足感、喜悦感中下课，并对未来的学习充满了信心，热切地盼望着再上下一节课.

4. 总结反思

（1）通过本节课的学习，你学会了哪些判断直线与平面垂直的方法？

（2）在证明直线与平面垂直时应注意哪些问题？

（3）本节课你还有哪些问题？

学生发言，互相补充，教师点评，归纳出判断直线与平面垂直的方法，给出框图（投影展示），同时，说明本课蕴含着转化、类比、归纳、猜想等数学思想方法，强调“平面化”是解决立体几何问题的一般思路，并鼓励学生反思，大胆质疑，教师作好记录，以便查缺补漏。

5.布置作业

（1）教材67—练习1

（2）如图，点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，O是

对角线AC与BD的交点，且PA=PC，PB=PD.

求证：PO⊥平面ABCD

（3）探究：如图，PA⊥圆O所在平面，AB是圆O的直径，

C是圆周上一点，则图中有几个直角三角形?由此你认为三棱锥

中最多有几个直角三角形？四棱锥呢？

教学评价

（1）理性与悟性

数学文化最光辉灿烂的就是其理性精神，但这种理性精神应该与悟性思维方式融合，才能全方位地提高学生的数学素养.新课标中，除了上面所引外，还在许多地方提到“领悟、内化”、“猜想”、“几何直观能力”等词语，可见新教学理念决不排斥悟性.这里所说的“悟性”应该是指“数学悟性”，有人将其描述为“逻辑简约、直观洞察、预见猜想、灵感顿悟”，这在《立体几何》中体现得更加充分.直线与平面垂直的定义及判定，如果没有数学悟性的参与就不可能使学生形成“直觉上的显然”（德国著名数学家克莱因语）.解立几问题时，最终依靠的当然是思辩论证，但在探索、突破的过程中，却处处离不开悟性思考.因此，在本教案的设计和实施过程中，将数学悟性思维能力的培养与应用放在相当显著的位置上.

（2）主体与主导

在这里提出一个“启发量”的概念.用字母“ ”表示启发量，则有“ ∈[0，1]”，“ =1”表示完全靠教师讲解，“ =0”表示完全让学生活动，教师必须寻求 的最佳值使教学取得最佳效果.但 的值并不是越小越好，要根据教材的具体情况合理确定 的值.如果片面强调学生的主体地位，完全忽视教师的主导作用，还要你教师干什么？像本节课中B练习（5）， 辅助线的构造较为复杂， 的值就要适当地大一些，完全让学生去探索、发现、证明是不现实的.

（3）例题练习

例题的讲解与练习的训练，都是尽量让学生活动，也就是尽量减小 的值，所以没有必要将两者截然分开，而是实行例题与练习的一体化.这样也可使教案在层次和结构上显得简洁明快.

（4）现代化教学技术的应用

计算机走进课堂是大势所趋，它在许多方面为提高教学效益起到了其他教学方式不可替代的作用.但必须认识到，多媒体课件永远是教学的辅助手段，它永远也不能取代黑板和粉笔.这一节课在一些地方也运用了课件，如图1、图3就充分发挥了多媒体课件动画演示的优越性，取得了超乎寻常的效果.但在其他地方除了利用实物外，灵活机动地利用黑板和粉笔的特长也是取得教学效果的不可或缺的条件。

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