新人教A版数学选修1-1：第三单元导数及其运用练习题4

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导数单元检测 23．已知 是实数，函数 ．如果函数 在区间 上有 零点，求 的取值范围． 24．设函数 （I）若当 时， 取得极值，求 的值，并讨论 的单调性； （II）若 存在极值，求 的取值范围，并证明所有极值之和大于 ． 25．设函数 （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）求 在区间 的最大值和最小值． 26.已知定义在正实数集上的函数 ， ，其中 ．设两曲线 ， 有公共点，且在该点处的切线相同． （I）用 表示 ，并求 的最大值； （II）求证： （ ）． 27．设二次函数 ，方程 的两根 和 满足 ． （I）求实数 的取值范围； （II）试比较 与 的大小．并说明理由． 28．如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点 和居民区 的公路，点 所在的山坡面与山脚所在水平面 所成的二面角为 （ ），且 ，点 到平面 的距离 （km）．沿山脚原有一段笔直的公路 可供利用．从点 到山脚修路的造价为 万元/km，原有公路改建费用为 万元/km．当山坡上公路长度为 km（ ）时，其造价为 万元．已知 ， ， ， ． （I）在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小； （II） 对于（I）中得到的点 ，在 上求一点 ，使沿折线 修建公路的总造价最小． （III）在 上是否存在两个不同的点 ， ，使沿折线 修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论． 答案解析 23. 解: 若 , ,显然在上没有零点, 所以 令 得 当 时, 恰有一个零点在 上; 当 即 时, 也恰有一个零点在 上; 当 在 上有两个零点时, 则 或 解得 或 因此 的取值范围是 或 ; 24. 解：（Ⅰ） ， 依题意有 ，故 ． 从而 ． 的定义域为 ，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 从而， 分别在区间 单调增加，在区间 单调减少． （Ⅱ） 的定义域为 ， ． 方程 的判别式 ． （ⅰ）若 ，即 ，在 的定义域内 ，故 的极值． （ⅱ）若 ，则 或 ． 若 ， ， ． 当 时， ，当 时， ，所以 无极值． 若 ， ， ， ...，大小：129 KB