正弦和余弦

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    2.学生经过研究,也许能解决这个问题.若不能解决,教师可适当引导:
    若一组直角三角形有一个锐角相等,可以把其顶点 , , 重合在一起,记作 ,并使直角边 , , ……落在同一条直线上,则斜边 , , ……落在另一条直线上,这样同学们能解决这个问题吗?引导学生独立证实:易知, ……,∴ ∽ ∽ ∽……,∴ , ,因此,在这些直角三角形中, 的对边、邻边与斜边的比值,是一个固定值。
    通过引导,使学生自己独立把握了重点,达到知识教学目标,同时培养学生能力,进行了德育渗透。
    而前面导课中动手实验的设计,实际上为突破难点而设计。这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。
    3.练习:教科书P3练习。此题为 作了孕伏,同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。
    (四)总结、扩展
    1.引导学生作知识总结:本节课在复习勾股定理及含30°角直角三角形的性质基础上,通过动手实验、证实,我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。
    教师可适当补充:本节课经过同学们自己动手实验,大胆猜测和积极思考,我们发现了一个新的结论,相信大家的逻辑思维能力又有所提高,希望大家发扬这种创新精神,变被动学知识为主动发现问题,培养自己的创新意识。
    2.扩展:当锐角为30°时,它的对边与斜边比值我们知道,今天我们又发现,锐角任意时,它的对边与斜边的比值也是固定的,假如知道这个比值,已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了,看来这个比值很重要,下节课我们就着重研究这个“比值”,有爱好的同学可以提前预习一下,通过这种扩展,不仅对下、余弦概念有了初步印象,同时又激发了学生的爱好。
    六、布置作业
    本节课内容较少,而且是为正、余弦概念打基础的,因此课后应要求学生预习正余弦概念。
    七、板书设计
    第二课时
    一、教学目标
    1.使学生初步了解正弦、余弦概念;能够较正确地用 、 表示直角三角形中两边的比;熟记非凡角30°、45°、60°角的正、余弦值,并能根据这些值说出对应的锐角度数.
    2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.
    3.渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.
    二、学法引导
    1.教学方法:指导发现探索法.
    2.学生学法:自主、合作、探究式学习.
    三、重点、难点、疑点及解决方法
    1.教学重点:使学生了解正弦、余弦概念.
    2.教学难点:用含有几个字母的符号组 、 表示正弦、余弦;正弦、余弦概念.
    3.疑点:锐角的正弦、余弦值的范围.
    4.解决办法:通过旧知创设情境,采用从非凡到一般的方法,引导学生进行探究式学习,从而解决重难点及疑点.
    四、教具预备
    三角板一副
    五、教学步骤
    (一)明确目标
    1.引导学生回忆“直角三角形锐角固定时,它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”
    2.明确目标:这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.
    (二)整体感知
    当直角三角形有一锐角为30°时,它的对边与斜边的比值为 ,只要知道三角形任一边长,其他两边就可知.
    而上节课我们发现,只要直角三角形的锐角固定,它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定,这样只要能求出这个比值,那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.
    通过与“30°角所对的直角边等于斜边的一半”相类比,学生自然产生想学习的欲望,产生浓厚的学习爱好,同时对以下要研究的内容有了大体印象.
    (三)教学过程
    正弦、余弦的要领是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,因此确定它为本课重点,同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示,因此概念也是难点.
    在上节课研究的基础上,引入正、余弦,“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图
    请学生结合图形叙述正弦、余弦定义,以培养学生概括能力及语言表达能力,教师板书:在 中, 为直角,我们把锐角 的对边与余边的比叫做 的正弦,记作 ,锐角 的邻边与斜边的比叫做 的余弦,记作 .
    .
    若把 的对边 记作 ,邻边 记作 ,斜边 记作 ,则 , .
    引导学生思考:当 为锐角时, 、 的值会在什么范围内?得结论 , ( 为锐角),这个问题对于较差学生来说有些难度,应给学生充分思考时间,同时这个问题也使学生将数与形结合起来.
    教材例1的设置是为了巩固正弦概念,通过教师示范,使学生会求正弦,这里不妨增问“ 、 ”,经过反复强化,使全体学生都达到目标,更加突出重点.
    例1求出如下图所示的 中的 、 和 、 的值.
    解:(1)∵斜边 ,
    ∴ , .
    , .
    (2) , .
    ,
    ∴ , .
    学生练习教材P6~7中1、2、3题.
    让每个学生画含30°、45°的直角三角形,分别求 、 、 和 、 、 .这一练习既用到以前的知识,又巩固正弦、余弦的概念,经过学习亲自动笔计算后,对非凡角三角函数值印象很深刻.
    , , .
    , , .
    例2求下列各式的值:
    (1) ;(2) .
    解:(1) .
    (2) .
    这了使学生熟练把握非凡角三角函数值,这里还应安排六个小题:
    (1) ;(2) ;
    (3) ;(4) .
    (5)若 ,则锐角 .
    (6)若 ,则锐角 .
    在确定每个学生都牢记非凡角的三角函数值后,引导学生思考,“请大家观察非凡角的正弦和余弦值,猜测一下, 大概在什么范围内, 呢?”这样的引导不仅培养学生的观察力、注重力,而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神,还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
    (四)总结、扩展
    首先请学生作小结,教师适当补充,“主要研究了锐角的正弦、余弦概念,已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值,知道任意锐角A的正、余弦值都在0~1之间,即
    , ( 为锐角).
    还发现 的两锐角 、 , , ,正弦值随角度增大而增大,余弦值随角度增大而减小”.
    六、布置作业
    教材P10中2,3.
    预习下一课内容.
    补充:(1)若 ,则锐角 .
    (2)若 ,则锐角 .
    七、板书设计

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