相似三角形教案

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相似三角形教案

    相似三角形
    教学目标
    (一)教学知识点
    1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似.
    2.能根据相似比进行计算.
    (二)能力训练要求
    1.能根据定义判断两个三角形是否相似,训练学生的判断能力.
    2.能根据相似比求长度和角度,培养学生的运用能力.
    (三)情感与价值观要求
    通过与相似多边形有关概念的类比,渗透类比的教学思想,并领会特殊与一般的关系.
    教学重点
    相似三角形的定义及运用.
    教学难点
    根据定义求线段长或角的度数.
    教学方法
    类比讨论法
    教具准备
    投影片三张
    第一张(记作§4.5 A)
    第二张(记作§4.5 B)
    第三张(记作§4.5 C)
    教学过程
    Ⅰ.创设问题情境,引入新课
    [师]上节课我们学习了相似多边形的定义及记法.现在请大家回忆一下.
    [生]对应角相等,对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
    相似多边形对应边的比叫做相似比.
    [师]很好.请问相似多边形指的是哪些多边形呢?
    [生]只要边数相同,满足对应角相等、对应边成比例的多边形都包括.比如相似三角形,相似五边形等.
    [师]由此看来,相似三角形是相似多边形的一种.今天,我们就来研究相似三角形.
    Ⅱ.新课讲解
    1.相似三角形的定义及记法
    [师]因为相似三角形是相似多边形中的一类,因此,相似三角形的定义可仿照相似多边形的定义给出,大家可以吗?
    [生]可以.
    三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形(similar triangles).如△ABC与△DEF相似,记作
    △ABC∽△DEF
    其中对应顶点要写在对应位置,如A与D,B与E,C与F相对应.AB∶DE等于相似比.
    [师]知道了相似三角形的定义,下面我们根据定义来做一些判断.
    2.想一想
    如果△ABC∽△DEF,那么哪些角是对应角?哪些边是对应边?对应角有什么关系?对应边呢?
    [生]由前面相似多边形的性质可知,对应角应相等,对应边应成比例.
    所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
    .
    3.议一议
    投影片(§4.5 A)
    (1)两个全等三角形一定相似吗?为什么?
    (2)两个直角三角形一定相似吗?两个等腰直角三角形呢?为什么?
    (3)两个等腰三角形一定相似吗?两个等边三角形呢?为什么?
    [师]请大家互相讨论.
    [生]解:(1)两个全等三角形一定相似.
    因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以两个全等三角形一定相似.
    (2)两个直角三角形不一定相似.
    因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不一定相似.
    两个等腰直角三角形一定相似.
    因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,则∠A=∠B=∠D=∠E=45°,所以有∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
    再设△ABC中AC=b,△DEF中DF=a,则
    AC=BC=b,AB= b
    DF=EF=a,DE= a
    ∴
    所以两个等腰直角三角形一定相似.
    (3)两个等腰三角形不一定相似.
    因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
    两个等边三角形一定相似.
    因为等边三角形的各边都相等,各角都等于60度,因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例,所以它们一定相似.
    [师]由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.
    两个全等三角形一定相似.
    两个等腰直角三角形一定相似.
    两个等边三角形一定相似.
    两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
    4.例题
    投影片(§4.5 B)
    1.如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20 m,在这个草坪的图纸上,这条边长5 cm,其他两边的长都是3.5 cm,求该草坪其他两边的实际长度.
    图4-20
    解:草坪的形状与其图纸上相应的形状相似,它们的相似比是2000∶5=400∶1
    如果设其他两边的实际长度都是x cm,则
    x=3.5×400=1400(cm)=14(m)
    所以,草坪其他两边的实际长度都是14 m .
    投影片(§4.5 C)
    2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50 cm,EC=30 cm,BC=70 cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°,求
    图4-21
    (1)∠AED和∠ADE的度数;
    (2)DE的长.
    解:(1)因为△ABC∽△ADE.
    所以由相似三角形对应角相等,得
    ∠AED=∠ACB=40°
    在△ADE中,
    ∠AED+∠ADE+∠A=180°
    即40°+∠ADE+45°=180°,
    所以∠ADE=180°-40°-45°=95°.
    (2)因为△ABC∽△ADE,所以由相似三角形对应边成比例,得
    即
    所以
    DE= =43.75(cm).
    5.想一想
    在例2的条件下,图中有哪些线段成比例?
    [师]请大家试一试.
    [生]成比例线段有
    图中有互相平行的线段,即DE∥BC.因为△ABC∽△ADE,所以∠ADE=∠B.由平行线的判定方法知DE∥BC.
    Ⅲ.课堂练习
    1.在下面的两组图形中,各有两个相似三角形,试确定x,y,m,n的值.
    图4-22
    解:在(1)中
    因为 =
    所以x=32
    在(2)中,由两三角形相似可知:对应角相等,对应边成比例.所以,
    n=55,m=80
    ,得y=
    2.等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形A′B′C′相似,相似比为3∶1,已知斜边AB=5 cm,求△A′B′C′斜边A′B′上的高.
    图4-23
    解:如图所示:CD、C′D′分别是△ABC与△A′B′C′斜边AB与A′B′边上的高.
    因为在Rt△ABC中,∠A=45°,CD⊥AB.
    所以CD=AD= AB= (cm)
    同理可知:C′D′=A′D′= A′B′.
    又因为△ABC∽△A′B′C′,且相似比为3∶1.
    所以 .即 ,得
    A′B′=
    所以C′D′= A′B′= (cm)

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