实际问题与一元二次方程教案3

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实际问题与一元二次方程教案3

文章 来源 www.16qiuxue.com     教学内容
    根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题.
    教学目标
    掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
    利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课,解决新课中的问题.
    重难点关键
    1.重点:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题.
    2.难点与关键:根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型.
    教具、学具准备
    小黑板
    教学过程
    一、复习引入
    (一)通过上节课的学习,大家学到了哪些知识和方法?
    (二)上一节,我们学习了解决"平均增长(下降)率问题",现在,我们要学习解决"面积、体积问题。
    1.直角三角形的面积公式是什么?一般三角形的面积公式是什么呢?
    2.正方形的面积公式是什么呢?长方形的面积公式又是什么?
    3.梯形的面积公式是什么?
    4.菱形的面积公式是什么?
    5.平行四边形的面积公式是什么?
    6.圆的面积公式是什么?
    (学生口答,老师点评)
    二、探索新知
    现在,我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型,解决一些实际问题.
    例1.某林场计划修一条长750m,断面为等腰梯形的渠道,断面面积为1.6m2,上口宽比渠深多2m,渠底比渠深多0.4m.
    (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少?
    (2)如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完?
    分析:因为渠深最小,为了便于计算,不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,渠底为x+0.4,那么,根据梯形的面积公式便可建模.
    解:(1)设渠深为xm
    则渠底为(x+0.4)m,上口宽为(x+2)m
    依题意,得: (x+2+x+0.4)x=1.6
    整理,得:5x2+6x-8=0
    解得:x1= =0.8m,x2=-2(舍)
    ∴上口宽为2.8m,渠底为1.2m.
    (2) =25天
    答:渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m;需要25天才能挖完渠道.
    学生活动:例2.如图,要设计一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1cm)?
    思考: (1)本体中有哪些数量关系?
    (2)正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解?
    (3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程?
    老师点评:依据题意知:中央矩形的长宽之比等于封面的长宽之比=9:7,由此可以判定:上下边衬宽与左右边衬宽之比为9:7,设上、下边衬的宽均为9xcm,则左、右边衬的宽均为7xcm,依题意,得:中央矩形的长为(27-18x)cm,宽为(21-14x)cm.
    因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的 ,则中央矩形的面积是封面面积的.
    所以(27-18x)(21-14x)= ×27×21
    整理,得:16x2-48x+9=0
    解方程,得:x= ,
    x1≈2.8cm,x2≈0.2
    所以:9x1=25.2cm(舍去),9x2=1.8cm,7x2=1.4cm
    因此,上下边衬的宽均为1.8cm,左、右边衬的宽均为1.4cm.
    分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也为9:7
    解法二:设正中央的矩形两边分别为9xcm,7xcm。依题意得
    解方程,得:
    故上下边衬的宽度为:
    左右边衬的宽度为:
    思考:对比几种方法各有什么特点?
    四、应用拓展
    例3某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?使图(1),(2)的草坪面积为540米2.
    练习  如图,在宽为20m,长为32m的矩形地面上,修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路,余下的六个相同的部分作为耕地,要使得耕地的面积为500m2,道路的宽为多少?               
    解法一:  设道路的宽为x,我们利用"图形经过移动,它的面积大小不会改变"的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路)则可列方程:(20-x)(32-2x)=500                                            整理,得:x2-36x+70=0
    解法二:20×32-2×20x-32x+2x2=500
    例4.如图(a)、(b)所示,在△ABC中∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动.
    (1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒钟,使S△PBQ=8cm2.
    (2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P到B后又继续在BC边上前进,Q到C后又继续在CA边上前进,经过几秒钟,使△PCQ的面积等于12.6cm2.(友情提示:过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则: )
    分析:(1)设经过x秒钟,使S△PBQ=8cm2,那么AP=x,PB=6-x,QB=2x,由面积公式便可得到一元二次方程的数学模型.
    (2)设经过y秒钟,这里的y>6使△PCQ的面积等于12.6cm2.因为AB=6,BC=8,由勾股定理得:AC=10,又由于PA=y,CP=(14-y),CQ=(2y-8),又由友情提示,便可得到DQ,那么根据三角形的面积公式即可建模.
    解:(1)设x秒,点P在AB上,点Q在BC上,且使△PBQ的面积为8cm2.
    则: (6-x)·2x=8

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实际问题与一元二次方程教案3

文章 来源 www.16qiuxue.com     整理,得:x2-6x+8=0
    解得:x1=2,x2=4
    ∴经过2秒,点P到离A点1×2=2cm处,点Q离B点2×2=4cm处,经过4秒,点P到离A点1×4=4cm处,点Q离B点2×4=8cm处,所以它们都符合要求.
    (2)设y秒后点P移到BC上,且有CP=(14-y)cm,点Q在CA上移动,且使CQ=(2y-8)cm,过点Q作DQ⊥CB,垂足为D,则有
    ∵AB=6,BC=8
    ∴由勾股定理,得:AC= =10
    ∴DQ=
    则: (14-y)· =12.6
    整理,得:y2-18y+77=0
    解得:y1=7,y2=11
    即经过7秒,点P在BC上距C点7cm处(CP=14-y=7),点Q在CA上距C点6cm处(CQ=2y-8=6),使△PCD的面积为12.6cm2.
    经过11秒,点P在BC上距C点3cm处,点Q在CA上距C点14cm>10,
    ∴点Q已超过CA的范围,即此解不存在.    ∴本小题只有一解y1=7.
    五、归纳小结
    本节课应掌握:利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.
    六、布置作业

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