切线的判定和性质

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切线的判定和性质

    切线的判定和性质(一)
    教学目标:
    1、使学生深刻理解切线的判定定理,并能初步运用它解决有关问题;
    2、通过判定定理和切线判定方法的学习,培养学生观察、分析、归纳问题的能力;
    3、通过学生自己实践发现定理,培养学生学习的主动性和积极性.
    教学重点:切线的判定定理和切线判定的方法;
    教学难点:切线判定定理中所阐述的由位置来判定直线是圆的切线的两大要素:一是经过半径外端;二是直线垂直于这条半径;学生开始时把握不好并极轻易忽视.
    教学过程设计
    (一)复习、发现问题
    1.直线与圆的三种位置关系
    在图中,图(1)、图(2)、图(3)中的直线l和⊙O是什么关系?
    2、观察、提出问题、分析发现(教师引导)
    图(2)中直线l是⊙O的切线,怎样判定?根据切线的定义可以判定一条直线是不是圆的切线,但有时使用定义判定很不方便.我们从另一个侧面去观察,那就是直线和圆的位置怎样时,直线也是圆的切线呢?
    如图,直线l到圆心O的距离OA等于圆O的半径,直线l是⊙O的切线.这时我们来观察直线l与⊙O的位置.
    发现:(1)直线l经过半径OC的外端点C;(2)直线l垂直于半径0C.这样我们就得到了从位置上来判定直线是圆的切线的方法——切线的判定定理.
    (二)切线的判定定理:
    1、切线的判定定理:经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
    2、对定理的理解:
    引导学生理解:①经过半径外端;②垂直于这条半径.
    请学生思考:定理中的两个条件缺少一个行不行?定理中的两个条件缺一不可.
    图(1)中直线了l经过半径外端,但不与半径垂直;图(2)(3)中直线l与半径垂直,但不经过半径外端.
    从以上两个反例可以看出,只满足其中一个条件的直线不是圆的切线.
    (三)切线的判定方法
    教师组织学生归纳.切线的判定方法有三种:
    ①直线与圆有唯一公共点;②直线到圆心的距离等于该圆的半径;③切线的判定定理.
    (四)应用定理,强化练习'
    例1已知:直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB.
    求证:直线AB是⊙O的切线.
    分析:欲证AB是⊙O的切线.由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证实OC⊥OB。
    证实:连结0C
    ∵0A=0B,CA=CB,”
    ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上的中线.
    ∴AB⊥OC.
    直线AB经过半径0C的外端C,并且垂直于半径0C,所以AB是⊙O的切线.
    练习1判定下列命题是否正确.
    (1)经过半径外端的直线是圆的切线.
    (2)垂直于半径的直线是圆的切线.
    (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
    (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线.
    (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切.
    采取学生抢答的形式进行,并要求说明理由,
    练习P106,1、2
    目的:使学生初步会应用切线的判定定理,对定理加深理解)
    (五)小结
    1、知识:切线的判定定理.着重分析了定理成立的条件,在应用定理时,注重两个条件缺一不可.
    2、方法:判定一条直线是圆的切线的三种方法:
    (1)根据切线定义判定.即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
    (2)根据圆心到直线的距离来判定,即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线.
    (3)根据切线的判定定理来判定.
    其中(2)和(3)本质相同,只是表达形式不同.解题时,灵活选用其中之一.
    3、能力:初步会应用切线的判定定理.
    (六)作业P115中2、4、5;P117中B组1.
    切线的判定和性质(二)
    教学目标:
    1、使学生理解切线的性质定理及推论;
    2、通过对圆的切线位置关系的观察,培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性质的能力;
    教学重点:切线的性质定理和推论1、推论2.
    教学难点:利用“反证法”来证实切线的性质定理.
    教学设计:
    (一)基本性质
    1、观察:(组织学生,使学生从感性熟悉到理性熟悉)
    2、归纳:(引导学生完成)
    (1)切线和圆有唯一公共点;(切线的定义)
    (2)切线和圆心的距离等于圆的半径;
    猜想:圆的切线垂直于经过切点的半径.
    引导学生应用“反证法”证实.分三步:
    (1)假设切线AT不垂直于过切点的半径OA,
    (2)同时作一条AT的垂线OM.通过证实得到矛盾,OM<OA这条半径.则有直线和圆的位置关系中的数量关系,得AT和⊙O相交与题设相矛盾.
    (3)承认所要的结论AT⊥AO.
    切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
    指出:定理中题设和结论中涉及到的三个要点:切线、切点、垂直.
    引导学生发现:
    推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
    推论2:经过切点且垂于切线的直线必经过圆心.
    引导学生分析性质定理及两个推论的条件和结论问的关系,总结出如下结论:
    假如一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.
    (1)垂直于切线;
    (2)过切点;
    (3)过圆心.
    (二)归纳切线的性质
    (1)切线和圆有唯一公共点;(切线的定义)
    (2)切线和圆心的距离等于圆的半径;(判定方法(2)的逆命题)
    (3)切线垂直于过切点的半径;(切线的性质定理)
    (4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点;(推论1)
    (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心.(推论2)
    (三)应用举例,强化练习.
    例1、如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.
    求证:AC平分∠DAB.
    引导学生分析:条件CD是⊙O的切线,可得什么结论;由AD⊥CD,又可得什么.
    证实:连结OC.
    ∴AC平分∠DAB.
    例2、求证:假如圆的两条切线互相平行,则连结两个切点的线段是直径。
    已知:AB、CD是⊙O的两条切线,E、F为切点,且AB∥CD
    求证:连结E、F的线段是直径。
    证实:连结EO并延长
    ∵AB切⊙O于E,∴OE⊥AB,
    ∵AB∥CD,∴OE⊥CD.
    ∵CD是⊙O切线,F为切点,∴OE必过切点F
    ∴EF为⊙O直径
    强化练习:P109,1
    3、求证:经过直径两端点的切线互相平行。
    已知:AB为⊙O直径,MN、CD为⊙O切线,切点为A、B
    求证:MN∥CD
    证实:∵MN切⊙O于A,AB为⊙O直径
    ∴MN⊥AB

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