方差

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    三、教学过程
    复习提问
    计算一组数据的平均数有哪些方法?
    引入新课
    在很多实际问题中,只知道一组数据的平均数是不够的,还需要知道这组数据的波动大小.如何了解数据的波动大小?这正是我们要解决的问题.
    新课
    引例 两台机床同时生产直径是40毫米的零件.为了检验产品质量,从产品中抽出10件进行测量,结果如下(单位:毫米):
    表中数据表成如下形式:
    可在此处让学生用公式②分别计算这两组数据的平均数(还可提问学生a取什么值最好,这样学生能在教师的启发下得到a=40最合适).当学生算出如下平均数:
    让学生思考,两组数据的平均数都等于规定尺寸40毫米时,甲、乙两机床性能是否都一样好?提出问题让学生议议后,再引导学生看图1,让学生熟悉到“机床甲生产的零件的直径与规定尺寸编差较大,偏离40毫米线较多;机床乙生产的零件的直径与规定尺寸的偏差较小,比较集中在40毫米线的四周.”这说明,在使所生产的10个零件的直径符合规定方面,机床乙比机床甲要好.
    这反映出,对一组数据,除需要了解它们的平均水平以外,还经常需要了解它们的波动大小(即偏离平均数的大小).
    在此处要告诉学生:描述一组数据的波动大小,可以采用不止一种办法.本课介绍“方差”即是一种方法.即:
    来衡量这组数据的波动大小,并把它叫做这组数据的方差.
    要强调“一组数据方差越大,说明这组数据波动越大”.条件许可时,还可介绍③式可表示为:
    接下来可以请两个学生计算引例中机床甲、乙两组数据的方差.
    从0.026>0.008可以比较出,机床甲生产的10个零件直径比机床乙生产的10个零件直径波动要大.(接下来教师再给出如下例题.)
    例1 已知两组数据:
    分别计算这两组数据的方差.
    讲此例后,要强调求解步骤为:
    (1)求平均数;(2)求方差;(3)比较方差得出结论.
    此后接前面问题说,用来衡量一组数据的波动的方法还可用一组数据的标准差,即
    公式④(即标准差)也是用来衡量一组数据波动大小的重要的量.
    在本节引例中,两组数据的标准差,可让学生算一下,得出:
    说明:计算标准差要比计算方差多开一次平方,但它的度量单位与原数据一致,有时用它比较方便.
    小结
    1.本课学了计算一组数据的方差的公式③.
    2.本课在方差的基础上又学了计算一组数据的标准差的公式④.
    练习:选用课本练习题.
    作业:选用课本习题.
    四、教学注重问题
    要注重通过例题讲好求方差题目的解题格式.
    教学设计示例3
    一、教学目的
    1.使学生进一步理解方差、标准差的意义.
    2.使学生把握利用简化公式计算一组数据的方差的方法.
    3.使学生会根据同类问题两组数据的方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.
    二、教学重点、难点
    重点:简化计算一组数据的方差公式.
    难点:利用方差(或标准差)比较两组数据的波动情况.
    三、教学过程
    复习提问
    1.什么是一组数据的方差、标准差?
    2.一组数据的方差和标准差应如何计算?
    引入新课
    我们看到,用公式③计算一组数据的方差比较麻烦.那么,有否较简便的计算方法呢?
    新课
    教师应在黑板上进行如下推导:
    推导上述公式后,可让学生仿①~④四个公式的方法归纳推理出如下结论:
    一般地,假如一组数据的个数是n,那么它们的方差可以用下面的公式计算:
    在这时,教师要强调:当一组数据中的数较小时,用公式⑤计算方差比公式③计算少了求各数据与平均数的差一步,因此比较方便.
    例2 计算下面数据的方差(结果保留到小数点后第1位):
    312133
    教师可让学生共同来完成此例.
    接下来教师按教材指出,当一组数据较大时,可按下述公式计算方差:
    其中x'1=x1a,x'2=x2a,…,x'n=xna,x1,x2,…,xn是原已知的n个数据,a是接近这组数据的平均数的一个常数.
    为使学生对公式⑥加深印象,可让学生用公式⑥解下例.
    例3 甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下(单位:分):
    哪个小组学生的成绩比较整洁?
    解后,指出解题步骤有如下三步:
    (3)代入公式⑥计算方差并比较得解.
    小结
    1.本课介绍了当一组数据中的数值较小时,用以计算方差的简化计算公式⑤.
    2.本课又学习了当一组数据中的数值较大时,用以计算方差的简化公式⑥.
    练习:选用课本练习题.
    作业:选用课本习题.
    补充作业
    2.甲、乙两组数据的方差之和为13,标准差之和为5,且甲的波动比乙的波动大,求它们各自的标准差.(答案:S 甲=3,S乙=2.)
    3.在某次数学考试中,甲、乙两校各8个班,不及格的人数分别如下:
    分别计算这两组数据的平均数与方差.
    四、教学注重问题
    要注重给学生讲如下三点:
    1.方差与标准差是衡量样本和总体波动大小的特征数.
    2.用简化计算公式求方差较为方便.
    3.对同类问题的两组数据,方差小的波动小、方差大的波动大.

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