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公式法教案2

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公式法教案2

    教学内容
    1.一元二次方程求根公式的推导过程;
    2.公式法的概念;
    3.利用公式法解一元二次方程.
    教学目标
    理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程.
    复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程.
    重难点关键
    1.重点:求根公式的推导和公式法的应用.
    2.难点与关键:一元二次方程求根公式法的推导.
    教学过程
    一、复习引入
    1. 前面我们学习过解一元二次方程的"直接开平方法",比如,方程
    (1)x2=4       (2)(x-2) 2=7
    提问1 这种解法的(理论)依据是什么?
    提问2 这种解法的局限性是什么?(只对那种"平方式等于非负数"的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程。)
    2.面对这种局限性,怎么办?(使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够"直接开平方"的形式。)
    (学生活动)用配方法解方程   2x2+3=7x
    (老师点评)略
    总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结,老师点评).
    (1)现将已知方程化为一般形式;(2)化二次项系数为1;(3)常数项移到右边;
    (4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式;
    (5)变形为(x+p)2=q的形式,如果q≥0,方程的根是x=-p±√q;如果q<0,方程无实根.
    二、探索新知
    用配方法解方程
    (1) ax2-7x+3 =0   (2)a x2+bx+3=0
    (3)如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题.
    问题:已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根x1= ,x2= (这个方程一定有解吗?什么情况下有解?)
    分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.
    解:移项,得:ax2+bx=-c
    二次项系数化为1,得x2+ x=-
    配方,得:x2+ x+( )2=- +( )2
    即(x+ )2=
    ∵4a2>0,4a2>0, 当b2-4ac≥0时 ≥0
    ∴(x+ )2=( )2
    直接开平方,得:x+ =±       即x=
    ∴x1= ,x2=
    由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:
    (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子x= 就得到方程的根.(公式所出现的运算,恰好包括了所学过的六中运算,加、减、乘、除、乘方、开方,这体现了公式的统一性与和谐性。)
    (2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.
    (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.
    公式的理解
    (4)由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
    例1.用公式法解下列方程.
    (1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x (3) x2- x+ =0   (4)4x2-3x+2=0
    分析:用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可.
    补:(5)(x-2)(3x-5)=0
    三、巩固练习
    教材P42 练习1.(1)、(3)、(5)或(2) 、(4) 、(6)
    四、应用拓展
    例2.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1) +(m-2)x-1=0提出了下列问题.
    (1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.
    (2)若使方程为一元二次方程m是否存在?若存在,请求出.
    你能解决这个问题吗?
    分析:能.(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.
    (2)要使它为一元一次方程,必须满足:
    ① 或② 或③
    解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2
    m2=1 m=±1
    当m=1时,m+1=1+1=2≠0
    当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)
    ∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0
    a=2,b=-1,c=-1
    b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9
    x=
    x1=,x2=-
    因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=- .
    (2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0
    因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0
    所以m=0满足题意.
    ②当m2+1=0,m不存在.
    ③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0
    所以m=-1也满足题意.
    当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,
    解得:x=-1
    当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0
    解得x=-
    因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=- .
    五、归纳小结
    本节课应掌握:
    (1)求根公式的概念及其推导过程;
    (2)公式法的概念;
    (3)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0.2)找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac,若结果为负数,方程无解,4)若结果为非负数,代入求根公式,算出结果。
    (4)初步了解一元二次方程根的情况.
    六、布置作业
    1.教材P45 复习巩固4.
    2.选用作业设计:
    一、选择题
    1.用公式法解方程4x2-12x=3,得到( ).
    A.x=      B.x=
    C.x=   &nb

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