鸡兔同笼教案

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鸡兔同笼教案

    ●教学时间
    第四课时
    ●课    题
    §7.3  鸡兔同笼
    ●教学目标
    (一)教学知识点
    1.会用二元一次方程组解决实际问题.
    2.在解决实际问题的过程中,用方程组这样的数学模型刻画现实世界.
    (二)能力训练要求
    1.在列方程组的建模过程中,强化方程的模型思想,培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.
    2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体,进一步提高解方程组的技能.
    (三)情感与价值观要求
    1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型,培养应用数学的意识.
    2.在用方程组解决实际问题的过程中,体验数学的实用性,提高学习数学的兴趣.
    ●教学重点
    1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.
    2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型,培养学生的数学应用能力.
    ●教学难点
    用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题,即数学建模的过程.
    ●教学方法
    自主发现法.
    学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解,组织学生自主交流,探索去发现列方程建模的过程,从而激发学生学习数学的兴趣,培养学生应用数学的意识.
    ●教具准备
    投影片一张:鸡兔同笼(记作§7.3 A).
    ●教学过程
    Ⅰ.提出问题,激发兴趣
    [师]我们本章的开头就介绍过"鸡兔同笼"的问题,这节课我们接着用方程来解决此问题,看结果如何?
    Ⅱ.讲授新课
    出示投影片(§7.3 A)
    1.今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几何?
    (1)"上有三十五头""下有九十四足"如何解释?
    (2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗?
    (3)你能解决这样的问题吗?
    2.有2元,5元,10元人民币共50张,合计305元,其中2元的张数与5元的张数相同,三种人民币各有多少张?
    (1)这个问题和上面的"鸡兔同笼"问题有联系吗?
    (2)你准备设几个未知数?
    (3)你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗?
    (4)你能解决这样的问题吗?
    [师]就上面的问题,我们先分组讨论.
    (学生在讨论时,教师可参与到学生的讨论,听学生的想法,以便能及时了解学生的思路)
    [师生共析]1.(1)"上有三十五头"是指"鸡和兔共有35只.即"鸡的只数+兔的只数=35只"."下有九十四足"是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即"鸡的腿+兔子的腿=94".
    (2)根据(1)中的数量关系,我们可以设鸡有x只,兔有y只,可得x+y=35  ①,2x+4y=94  ②,把①和②联立方程组,得
    (3)解法一:由①得y=35-x       ③
    把③代入②中,得2x+4(35-x)=94
    解得x=23
    把x=23代入①,得y=12.
    所以原方程组的解为
    解法二:②-①×2,得
    2y=24
    y=12
    把y=12代入①,得x=23
    所以原方程组的解为
    答:鸡有23只,兔子有12只.
    和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解"鸡免同笼"的问题来比较,用列二元一次方程组来解决此题会更直观,更容易理解.
    2.(1)这个问题类似于"鸡兔同笼"的问题.因为它也是将"2元,5元,10元"的人民币混合在了一起,只知道总共有多少张,合起来共多少元,求2元,5元,10元的人民币各有多少张?
    (2)在这个题目中,设两个未知数也可以;设三个未知数也可以.我们先来看设两个未知数的情况.由于2元和5元的张数相同,我们可以各设有x张,10元的张数有y张.
    (3)根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即:2元的张数+5元的张数+10元的张数=50张,2元的总面值+5元的总面值+10元的总面值=305元,于是我们根据(1)中的未知数列出二元一次方程组:
    (4)用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们板演完成.
    解法一:由①得y=50-2x          ③
    把③代入②,得x=15
    把x=15代入③,得y=20
    所以原方程组的解为
    解法二:①×10-②,得
    x=15
    把x=15代入①,得y=20
    所以原方程组的解为
    答:2元和5元的人民币各有15张,10元的人民币有20张.
    [议一议]如果2、(2)中设有三个未知数,即如果设2元的人民币有x张,5元的人民币y张,10元的人民币z张,如何列出方程组,解上述问题呢?
    [生]我们在设未知数时,没有利用2元的人民币和5元的人民币张数相等这个条件,因此列出的方程就多出一个,再加上我们刚才的两个相等关系,列出的是一个三元一次方程组即由x=y  ①,x+y+z=50  ②,2x+5y+10z=305  ③,组成的三元一次方程组.
    [师]我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法,但我们借鉴二元一次方程组的基本思路--消元,可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组
    我们可以将①代入②和③,得二元一次方程组
    解这个二元一次方程组,得
    把y=15代入①得x=15
    所以方程组的解为
    [生]老师,看来解方程组未知数出了并不可怕,关键是掌握解方程组的基本思路--消元.
    [师]的确如此.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.
    [例1]以绳测井.若将绳三折测之,绳多五尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?
    谁来给大家解释一下题意.
    [生]老师,我试一下.这个题目的大意是:用绳子测量水井的深度,如果将绳子三折即折成三等份,则一份绳子的长度比井多五尺;如果将绳子四折即折成四等份,则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺?
    [师]这位同学解释得很棒.接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它.首先我们可以从题目中找到相等关系.你知道相等关系蕴含在哪两句话里?你能用含文字的等式表示出来吗?
    [生]可以.我认为相等关系蕴含在"将绳三折测之,绳多五尺"和"若将绳四折测之,绳多一尺".这两句话中,用等式表示出来为:
    绳长÷3-井深=5                ①
    绳长÷4-井深=1                ②
    [生]老师,我认为相等关系也在这两句话中,但我用下面的等式表示:
    绳长-3×井深=5×3             ③
    绳长-4×井深=1×4             ④
    [师]很好.我们现在设出未知数,设绳长为x尺,井深为y尺,根据①、②得方程组为:

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