多边形

多边形

    在数学这个奇妙的王国里,那些长短不一的线段经人们按一定规则排列和组合,竟会生成五花八门的图形,确实令人惊叹不已.
    从字面上看多边形这个概念是很容易理解的,就是由一些线段首尾顺次相接组成的图形.组成多边形的线段叫做多边形的边,有条边的多边形称为边形.显然最简单的多边形是三边形,通常称为三角形.由于任意一个多边形可以通过适当连接边的公共端点(即多边形的顶点)得到的多边形的对角线将多边形分为若干三角形,因此多边形的很多问题最终可以归结到三角形上.比如由平行公理很容易推出三角形内角和为180°,从而进一步可以得到边形的内角和为(-2)×180°.
    如果延长多边形的任一条边,整个多边形都在这条延长线的一侧,那么这个多边形就叫凸多边形.中学数学里除非特别说明,所说的多边形均指凸多边形.
    大家知道,多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角,而多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角.取多边形每一个内角的一个邻补角,它们相加的和叫做多边形的外角和,由外角和的定义以及内角和可以得出边形的外角和为×180°-(2)×180°=360°.当然,这个结论也可以按以下方式来更直观的理解:以五边形为例(如图).假设一个人站改变行进方向.于是这个人走到A2时,逆时针转一个角度(A2的外角)开始面向A3行进……当他这样回到A1时再逆时针转一个角度(A1的外角)恢复到行进前的状态.这时,这个人所转过的角度正好是五边形A1A2A3A4A5的外角和,而显然,他恰转了一圈,360°.对于任意边形当然同样只能是360°.
    一般地,边形的内角中,最多有3个锐角.
    事实上,如果某一边形的内角中有4个或4个以上的锐角,则这个边形有4个或4个以上的外角,从而外角和必大于360°,这是不可能的.